Bézout et les intersections de courbes algébriques (Étienne Bézout, 1764)

imagette-retailleeLe problème général de l’élimination peut s’énoncer ainsi : un certain nombre d’inconnues et de relations polynomiales entre ces inconnues étant donné, y a-t-il des valeurs de ces inconnues qui vérifient toutes ces relations ? Et dans le cas d’une réponse positive, quelles sont-elles ? Pour résoudre ce problème, on cherche à déduire des relations polynomiales données, une équation dans laquelle ne subsiste plus, au maximum, qu’une seule inconnue. On dit alors que l’on a « éliminé » les autres. Cette équation donnera une condition d’existence, d’où l’on pourra tirer éventuellement les valeurs de l’inconnue restante qui, une fois calculées, permettront de trouver celles des autres.
La méthode de Bézout est fondée sur l’idée originale suivant laquelle la résultante est toujours donnée par le déterminant d’un système linéaire. Cette novation sera son fil conducteur. Il démontre aussi, de manière tout à fait convaincante, à la différence de ses prédécesseurs, que le nombre de solutions d’un système de deux équations à deux inconnues de degré respectif m et m’ est au plus m x m’ (ce qui équivaut au nombre de points d’intersection de deux courbes algébriques).
Curieuse postérité que celle de ce mathématicien un peu oublié : on lui co-attribue à tort une condition de primalité entre deux entiers relatifs (le théorème de Bachet-Bézout, même parfois ‘Bézout’ tout court, alors que ce théorème est exclusivement de Bachet de Méziriac, 1581-1638, mort un siècle avant la naissance de Bézout) ; et par ailleurs on ne le crédite que peu de ces avancées remarquables et rigoureuses en algèbre polynomiale, comme le nombre maximum de points de rencontre de deux courbes et la façon de les calculer, ou la recherche de solutions communes à deux polynômes, c’est-à-dire l’obtention de leur PGCD (c’est cela que l’on confond avec le théorème de Bachet sur les entiers relatifs et leur PGCD).

L’analyse est réalisée par Liliane Alfonsi (BibNum).


Vous aimerez aussi...

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *